Duale Zahlen (Binärzahlen) 

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Allgemeines 

Eine duale Zahl, auch binäre Zahl genannt, wird aus einer endlichen Kombination von Bits dargestellt. Durch eine Aneinanderreihung von Bits kann jede Information dargestellt werden.

verwendete Zeichen / Ziffern: 0 ;1

Im Dualsystem werden die Ziffern 0 und 1 und als Stellenwerte die Potenzen zur Basis 2 benutzt. Die Wertigkeit jeder Stelle ergibt sich aus der Potenzierung der Basis 2 mit dem Stellenwert.

Stellenwerte:

20

21

22

23

24

25

26

27

2n

1

2

4

8

16

32

64

128



Rechenbeispiel 

Rechenbeispiel Dualsystem

Das höchstwertigste Bit MSB (most significant bit) steht am weitesten links, das niedrigstwertige Bit LSB (least significant bit) steht am weitesten rechts in einer Dual- bzw. Binärzahl. Die Wertigkeit der Bitfolge ergibt sich aus der Summe der einzelnden Wertigkeiten der Stellen.


Schnelles Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen 

211 : 2 =

105 Rest 1

   LSB

 

Wenn die Reste von MSB zum LSB von links nach rechts notiert werden ergibt sich die Dualzahl.

211(10)= 1 1 0 1 0 0 1 1(2)

105 : 2 =

52 Rest 1

 

52 : 2 =

26 Rest 0

 

26 : 2 =

13 Rest 0

 

13 : 2 =

6 Rest 1

 

6 : 2 =

3 Rest 0

 

3 : 2 =

1 Rest 1

 

1 : 2 =

0 Rest 1

   MSB


  siehe auch: Umwandlungen in Binär, Oktal, Dezimal und Hexadezimal


Lesen von Dualzahlen 

Eine Dualzahl hat immer eine vorgeschriebene Bitlänge. So auch in unserem Beispiel, nämlich 8 Bit. Schauen wir uns nun einmal an diesem Beispiel das Lesen von Dualzahlen an.

Lesen von Binärzahlen


Darstellung negativer Zahlen 

Die zusammengehörige Länge einer Bitfolge bestimmt wie viele Ganzzahlen mit ihr dargestellt werden können. Liegt eine Binärwortlänge von 8 Bit vor, so können Zahlen im Bereich von 0 bis 255 mit ihr codiert werden. Ist es jedoch erwünscht, dass auch negative Zahlen gespeichert werden, so muss dieses Intervall halbiert werden. Bei einem vorliegenden 8-Bit-Wort ist das höchstwertige Bit 0, bei negativen Zahlen ist das höchstwertige Bit 1. Die Zahlen im Intervall 0 bis 127 bilden wie gewohnt die positiven Zahlen. So wäre die Bitfolge der 127 ganz gewohnt 01111111. Das linkeste Bit entscheidet, ob die vorliegende Zahl positiv (Bit = 0) oder negativ (Bit = 1) ist. Der Bereich der negativen Ganzzahlen erstrecht sich in einem 8-Bit-Wort von -1 bis -128. Für die -1 lautet demnach die binäre Reihe 11111111. Die 0 und die -128 sind nicht eindeutig codiert, da ihre Binärfolge das Aussehen 00000000 aufweist. Deshalb wird meist bei Programmiersprachen ein der Definitionsbereich eines ganzzahligen Datentyps, der sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, definiert durch -2(Byteanzahl * 8 - 1) - 1  bis  2(Byteanzahl * 8 - 1). Eine Umwandlung von positiven in negative Zahlen ist mit Hilfe des Einer- bzw. Zweierkomplement realisierbar.